
\prob{007A}{两根为质数}

已知对于实数$a > 0$，存在唯一的$k$，使得关于$x$的方程
\[ x^2 + (k^2 + ak)x + k^2 + ak + 1999 = 0 \]
的两根均为质数，求$a$。
\problabels{yellow/数论, green/方程相关问题}

\ans{$a = 2\sqrt{502}$}

\subsection{Vieta定理}

不妨设原方程的两根为质数$p, q$，且$p \le q$，则由Vieta定理有
\begin{align}
  p + q &= -(k^2 + ak) \\
  pq &= k^2 + ak + 1999 \label{eq:007A-vie-pq}
\end{align}
于是有
\begin{align*}
  pq + p + q &= 1999 \\
  pq + p + q + 1 &= 2000 \\
  (p + 1)(q + 1) &= 2000
\end{align*}

\begin{table}[htbp]
  \centering
  \begin{tabular}{ccccl}
    \toprule
    $p + 1$ & $p$ & $q + 1$ & $q$ & 备注 \\ \midrule
     1 & \emph{ 0} & 2000 &      1999  & 不满足 \\
     2 & \emph{ 1} & 1000 & \emph{999} & 不满足 \\
     4 &        3  &  500 &       499  & 满足 \\
     5 & \emph{ 4} &  400 & \emph{399} & 不满足 \\
     8 &        7  &  250 & \emph{249} & 不满足 \\
    10 & \emph{ 9} &  200 &       199  & 不满足 \\
    16 & \emph{15} &  125 & \emph{124} & 不满足 \\
    20 &       19  &  100 & \emph{ 99} & 不满足 \\
    25 & \emph{24} &   80 &        79  & 不满足 \\
    40 & \emph{39} &   50 & \emph{ 49} & 不满足 \\ \bottomrule
  \end{tabular}
  \caption{枚举$p + 1, q + 1$，当$p \le q$。表中的斜体字是合数。}
  \label{tab:007A-vie-enum}
\end{table}

如表~\ref{tab:007A-vie-enum}，枚举2000的因数，可知只有$p + 1 = 4, q + 1 = 500$满足$p, q$为质数。此时$p = 3, q = 499$。由式~\ref{eq:007A-vie-pq} 知有如下关于$k$的方程：
\[ k^2 + ak + 1999 = 3\cdot499 \]
即
\[ k^2 + ak + 502 = 0 \]
由题知该方程有两相同实数根，故
\begin{align*}
  \Delta &= a^2 - 4\cdot502 = 0 \\
  a^2 &= 4\cdot502 \\
  a &= \pm2\sqrt{502} \\
\end{align*}
而$a > 0$，故$a = 2\sqrt{502}$。
